終結式 Resultant
2つの多項式に対して定義される「共通解が存在する場合 0となる式」
多項式$ f,g
$ f(x) =\sum_{i=0} a_i x^i
$ g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^i
に対して終結式は次のように定義される
$ \mathrm{Res}(f,g)= a_0^m b_0^n \prod_{i,j} (\alpha_i - \beta_j)
ここで$ \alpha_i,\beta_iはそれぞれの多項式の解である。
定義して自明ではあるけど$ f,gが共通解を持つことと、終結式$ \mathrm{Res}(f,g)が0であることは同値関係にある。
つまりは判別式として使うことができるわけです。実際判別式との関係式もあるみたいです。
定義だとそもそも解がわからないと終結式が作れないので、どうすんだって話になります。
それで解がわからなくても求められるように、多項式の係数で作るシルベスター行列やBezout Matrixというのが考えられています。これらの行列式は終結式に一致することが証明されているので、その行列式から計算して実際に使っていくという感じになっている